운동론적 기체 모델 (압력과 분자 속도의 관계)

여기서 다루는 운동론적 기체 모델은 앞서 설명했던 이상 기체를 가정합니다.

1. 기체는 질량 \(m\)을 가진 분자로 구성되어 있다.
2. 분자는 부피가 없다.
3. 분자 간 상호작용은 오직 탄성 충돌을 통해서만 발생한다. (충돌 전후의 운동 에너지가 보존됨.)

 

 

압력은 단위 면적에 가해지는 힘 이기 때문에, 압력을 계산하기 위해서는

분자 충돌이 단위 면적에 가하는 힘을 알아야 하고,

이는 단위 시간 동안 분자들의 평균 운동량 변화로 계산할 수 있습니다.

 

먼저 분자 하나 수직 방향으로 충돌하여 운동량이 변할 때, 

\(x\)축 방향으로 속도 \(v_x\)를 가진 입자가 벽에 충돌하고 탄성반사한다고 가정하면

충돌 전 운동량  \(p = m v_x\)
충돌 후 운동량  \(p = -m v_x\)

 

따라서 운동량 변화는
  \[
  \Delta p_x = p_{\text{after}} - p_{\text{before}} = -m v_x - m v_x = -2m v_x
  \]

변화량의 절댓값은 \(2m v_x\)

 

 

시간 \(\Delta t\) 동안 \(v_x\) 속도를 가진 분자는 \(v_x \Delta t\) 거리만큼 이동하기 때문에 

벽으로부터 \(v_x \Delta t\) 거리 내에 있는 분자들은 벽과 충돌이 가능하고

벽의 면적을 \(A\)라 하면 \(\Delta t\) 동안 벽에 도달할 수 있는 분자들이 차지하는 공간은 \(A v_x \Delta t\)

이 공간에 있는 분자의 밀도는 전체 공간의 분자 밀도와 같고..

\(\frac{n N_A}{V}\)  (\(n\)은 몰 수, \(N_A\)는 아보가드로 수, \(V\)는 전체 공간의 넓이)

 

이 공간 내에 존재하는 분자 수는
\[
\frac{n N_A}{V} \cdot A v_x \Delta t
\]

 

 

단, 이 공간 내에 존재하는 모든 분자가 같은 방향으로 가지는 않기 때문에,

오른쪽으로 가는 (양의 \(v_x\)) 입자만 고려하면 (+방향 또는 - 방향이니 확률적으로 절반이 되겠죠)\[
\text{충돌 수} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n N_A}{V} \cdot A v_x \Delta t
\]

 

각 충돌 당 변하는 운동량은 \(2m v_x\), 충돌 수는 위와 같으므로,
\[
\Delta p_{\text{total}} = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{n N_A}{V} \cdot A v_x \Delta t \right) \cdot 2m v_x
= \frac{n N_A A m v_x^2 \Delta t}{V}
\]

\(m N_A = M\) (몰 질량)으로 바꾸면, 충돌한 분자 전체의 운동량 변화는 아래와 같습니다.
\[
\Delta p = \frac{n M A v_x^2 \Delta t}{V}
\]

 

힘은 단위 시간당 운동량의 변화량과 같기 때문에..

\[
F = ma= \frac{m \Delta v}{\Delta t} =\frac{\Delta p}{\Delta t}
\]

 

위에서 구한 운동량의 변화량을 식에 적용하면

\[
F = \frac{n M A v_x^2}{V}
\]

 

이제 힘도 알아 냈으니 압력을 구해보면 (압력은 힘을 면적으로 나눈 값)
\[
p = \frac{F}{A} = \frac{n M v_x^2}{V}
\]

 

하지만, 실제로 분자들은 모두 같은 속도를 가지지 않기 때문에,

실제 측정 압력은 \(v_x^2\)의 평균을 사용해야 합니다.
\[
p = \frac{n M \langle v_x^2 \rangle}{V}
\]

 

여기서 \(\langle a \rangle \) 은 \(a\)의 평균을 의미합니다

 

 

기체는 3차원 공간에서 운동하기 때문에 실제로는 x, y, z 방향을 모두 고려해야하는데,

속도의 제곱은 각 축 성분의 속도를 제곱하여 합한 것과 같습니다. 

\[
v^2  =  v_x^2 +v_y^2  +  v_z^2
\]

 

그리고 각 축 방향의 속도 제곱의 평균 값은 통계적으로 동일하게 나타나겠죠?

\[
\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle
\]

 

따라서 아래 식이 성립합니다.

\[ \langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle \]

 

여기서 중요한 개념인 "Root Mean Square" 를 알아볼 필요가 있습니다.

RMS는 평균을 내는 방법 중 하나인데, 일반적인 평균과 달리

제곱의 평균 값을 다시 제곱근한 값이기 때문에

항상 일반적인 평균 값보다 크거나 같습니다.

 

구체적으로 예를 들어보면

3개의 분자가 \(c_1 = 200\), \(c_2 = 300\), \(c_3 = 400\) m/s로 움직일 때

평균 속도는
  \[
  \langle c \rangle = \frac{200 + 300 + 400}{3} = 300 \text{ m/s}
  \]
RMS 속도는
  \[
  c_{\text{rms}} = \sqrt{ \frac{200^2 + 300^2 + 400^2}{3} } \approx \sqrt{290000} \approx 538.5 \text{ m/s}
  \]

 

이런식이죠.

 

이게 중요한 개념인 이유는 운동 에너지의 형태가 \( \frac{1}{2} m v^2 \)

형태로 나타나기 때문에

 

속도의 RMS는 운동에너지에 대한 평균 속도 라고 생각할 수 있습니다.

분자의 평균 운동에너지에 해당하는 속도인 것이죠.

 

 

위의 압력에 대한 식을 RMS로 다시 나타내면,

\[
\langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle = \frac{1}{3}v_{\text{rms}}
\]

\[
p = \frac{1}{3} \cdot \frac{n Mv_{rms}^2}{V}
\Rightarrow pV = \frac{1}{3} n Mv_{rms}^2
\]

이 식은 압력-속도 관계를 나타내며, 이후에 이 식을 통해 이상 기체 방정식을 유도할 수 있습니다.